무한의 신비

무한의 신비 수학, 철학, 종교의 만남 애머 악셀 지음 승산 현재 고등학교 수학동아리인 아인즈 활동 중, 이 책을 읽고 발표를 해야해서 힘들게 읽었다. 이 책은 무한 이라는 세계에 매료되어서 일생을 바친 수학자 게오르크 칸토어)1845~1918)를 한중간에 놓고서 풀어내는 무한의 수학역사서라고 한다. 무한이란 철학적 개념만이 아니라 수학적인 개념이기도 하고 19세기 후반, 무한이라는 개념이 부자연스러운 것으로 인식되어 무리수를 연구하는 타락한 젊은이로 매도되기도 한 집합론의 아버지로 알려지게 된 게오르크 칸토어의 삶을 엿볼 수 있다. 칸토어와 함께 현대 해석학을 발전시킨 리만, 바이어슈트라스 등의 업적과 칸토어 이후의 무한을 탐구하는데 기여한 러셀 괴델, 코언 등의 업적을 소개하고 있다. 목차를 살펴보니, 1. 고대 무한의 기원 2. 카발라 3. 갈릴레오 갈릴레이와 불치노 4. 베를린 5. 원을 정사각형으로 만들기 6. 학생시절 7. 집합론의 탄생 8. 최초의 원 9. "나는 그것을 안다, 그러나 그것을 믿지 않는다" 10. 악의적인 반대 11. 초한수 12. 연속체 가설 13. 셰익스피어와 정신병 14 선택공리 15. 레셀의 패러독스 16. 마리엔바트 온천장 17. 오스트리아 빈의 카페 18. 1927년 6월 14일과 15일 밤 19. 라이프니츠, 상대성, 그리고 미국 헌법 20. 코언의 증명과 집합론의 미래 21. 할루크의 무한한 광채 목차만 보아도 내용이 수월치 않다는 것을 파악할 수 있다. 이 중에서 <괴델의 불완전성 원리>라는 제목으로 PPT를 만들어서 동아리 시간에 발표를 해야 한다. - 수학의 최고의 대상인 수 중에서도 특별한 의미를 지니고 있는 자연수는 핵심적인 수학적 대상임. - 따라서 자연수에 관한 엄밀한 수학적 이론의 정립은 필수적임. - 페아노에 의한 자연수에 관한 논리 체계로부터 모든 수의 이론이 정립됨. - 이것에 기반을 두고 무모순적이고 완전한 공리체계를 이루고자 하는 노력이 있었음. - 체코의 수학자 괴델이 발표한 불완전성 정리는 모든 학문 분야에 엄청난 충격을 가져옴. - 페아노의 공리 체계를 포함하는 어떠한 논리 체계도 무모순적인 동시에 완전할 수 없다고 주장함. - 무모순적이고 완전한 수학 체계 구현을 위한 노력이 실현 불가능임을 밝힘으로써 수학은 그 자체에 극복할 수 없는 근본적인 한계를 가졌음을 증명함. - 이는 양자 역학에서의 불확정성 원리가 관찰 행위에 근본적인 한계가 있음을 주장함으로 기존 물리학의 기초와 수학의 기존의 절대적 권위를 흔들었고, 수학에 대한 완전히 새로운 인식을 초래했음. - 불완전성 정리는 컴퓨터가 아무리 발전해도 인간의 두뇌에 이르지 못한다는 논증에도 활용됨. - 그리고 이를 통해 궁극적 진리는 증명 가능한 것이 아님을 알 수 있음. - 괴델의 불완전성 정리가 보통의 수학에는 의미가 없을 것이라고 생각할 수 있는데, 연속체 가설에 관한 괴델과 코언의 결과에 의하면 수학의 기초론에도 영향을 미침. - 괴델수라는 개념은 한 체계 내의 기호, 논리식, 증명마다 붙힌 각 고유번호를 뜻함. 이 개념을 이용하면, 초수학적 표현과 분석이 훨씬 쉬워짐. - 어떤 철학자가 주장하는 바에 따르면 불완전성 정리에 의하는 어떠한 형식 체계도 충분히 강력한 동시에 무모순적이고 완전할 수 없음. - 그런데 어떠한 사유체계도 완벽할 수 없으므로 어떠한 사유체계도 제한적이거나 모순되거나 결정불가능한 주장에 다다를 수 있음. 내용을 제대오 숙지했다고 자신할 수 없지만, 또다른 수학적인 개념을 접할 수 있는 소중한 기회였다고 생각된다. 2017.8.9.(수) 이은우(고1)
1918년 정신병동에서 쓸쓸한 죽음을 맞은 칸토어에 대한 이야기를 바탕으로 무한의 이론과 개념에 대해 논하고 있는 책. 그것은 단순히 한 개인의 수학적 연구를 규명하는 차원에서 그치는 것이 아니라, 고대 카발라와 수비학까지 이르는 심히 비밀스럽고도 은밀한 무한에 대한 본질적인 것을 논하고 있다. 역사적 상황과 사실을 바탕으로 무한의 옷자락을 들추고자 하였던 사람들은, 고대 카발리스트나 칸도어와 괴델같은, 모두 정신병자가 되어버렸거나 죽음을 맞이하였다. 중세 이전까지는 무한은 신의 영역이라고 규정지었고 그에 도전하는 것은 곧 신의 위업에 도전하는 것과 같이 여겼다. 그들은 신의 위업에 도전하고자 하여 벌을 받은 것일까.

칸토어는 어떻게 무한에 관한 이론을 세웠는지, 그의 선구적인 업적의 영향력과 결과는 우리 세계의 미래를 어떻게 바꾸게 될 것인가에 대한 질문은 아직도 끊이지 않고 있다. 그는 처음 이 이론을 발표하고자 하였을 때 10년이라는 시간을 두고 망설였었다. 그리고 이 이론이 발표된 후에도 스승과 동료들에게 끊임없는 비난을 받았다.

칸토어의 천재성을 촉발시킨 영감은 수학에 그 뿌리를 두고 있지만, 그 의미는 아직도 다 풀리지 않았다. 다만 1947년에 사망한 쿠르트 괴델이 칸토어의 연속체 가설이 다른 수학과 독립적이라는 것을 증명했고, 그로써 수학의 기초는 그 자체가 흔들리게 되었다.

칸토어의 무한 이론은 겉보기에 모순 되는 것으로 유명하다. 예를 들어, 우리는 1인치 길이의 직선상에 있는 점의 수가 1마일 길이의 직선상에 있는 점의 수와 동일하다는 것을 증명할 수 있다. 우리는 또한 날days의 수만큼 많은 해years가 있다는 것도 증명할 수 있다. 칸토어가 증명한 바에 따르면, 무한집합들은 크기가 동일하다.

칸토어의 수학에 관한 철학적 연구는 고대 그리스의 수학과 유대인의 수비학에 뿌리를 두고 있다. 유대인의 수비학은 카발라로 알려진 신비주의 연구에서 찾아볼 수 있다. 칸토어는 무한을 표현할 때 헤브라이어 알파벳 첫 문자인 알레프라는 기호를 사용했다. 부수적으로 신을 연상하게 하는 의미가 깃들여 있는 알레프는 모든 양의 정수를 합한 신비한 수라고 말할 수 있다. 그러나 알레프는 마지막 양의 정수가 아니다. 왜냐하면 마지막이란 존재하지 않기 때문이다. 알레프는 항상 접근 중인 궁극의 수이다―1이라는 수 이전에 최후의 분수가 없는 것처럼.

0. 할레
1. 고대 무한의 기원
2. 카발라
3. 갈릴레오 갈릴레이와 볼차노
4. 베를린
5. 원을 정사각형으로 만들기
6. 학생시절
7. 집합론의 탄생
8. 최초의 원 ...129
9. 나는 그것을 안다, 그러나 그것을 믿지 않는다
10. 악의적인 반대
11. 초한수
12. 연속체 가설
13. 셰익스피어와 정신병
14. 선택공리
15. 러셀의 패러독스
16. 마리엔바트 온천장
17. 오스트리아 빈의 카페
18. 1937년 6월 14일과 15일 밤
19. 라이프니츠, 상대성, 그리고 미국 헌법
20. 코언의 증명과 집합론의 미래
21. 할루크의 무한한 광채

부록 : 집합론의 여러 공리

회계는 어떻게 역사를 지배해왔는가